Det gyldne forholdet er et forhold som har blitt ansett som det mest perfekte og harmoniske siden antikken. Det danner grunnlaget for mange gamle strukturer, fra statuer til templer, og er veldig vanlig i naturen. Samtidig kommer denne andelen til uttrykk i overraskende elegante matematiske konstruksjoner.
Bruksanvisning
Trinn 1
Den gyldne proporsjonen er definert som følger: det er en slik inndeling av et segment i to deler at den mindre delen refererer til den større på samme måte som den større delen refererer til hele segmentet.
Steg 2
Hvis lengden på hele segmentet blir tatt som 1, og lengden på størstedelen blir tatt som x, vil den søkte proporsjonen uttrykkes av ligningen:
(1 - x) / x = x / 1.
Ved å multiplisere begge sider av andelen med x og overføre vilkårene, får vi den kvadratiske ligningen:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Trinn 3
Ligningen har to virkelige røtter, hvorav vi naturlig nok bare er interessert i det positive. Det er lik (√5 - 1) / 2, som er omtrent lik 0, 618. Dette tallet uttrykker det gyldne forholdet. I matematikk er det oftest betegnet med bokstaven φ.
Trinn 4
Antallet φ har en rekke bemerkelsesverdige matematiske egenskaper. For eksempel, selv fra den opprinnelige ligningen er det sett at 1 / φ = φ + 1. Faktisk, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Trinn 5
En annen måte å beregne det gyldne forhold på er å bruke en uendelig brøkdel. Fra hvilken som helst vilkårlig x kan du sekvensielt konstruere en brøkdel:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
etc.
Trinn 6
For å gjøre det lettere å beregne, kan denne brøken representeres som en iterativ prosedyre, for å beregne neste trinn, må du legge til en i resultatet av forrige trinn og dele en med det resulterende tallet. Med andre ord:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Denne prosessen konvergerer, og grensen er φ + 1.
Trinn 7
Hvis vi erstatter beregningen av den gjensidige med ekstraksjonen av kvadratroten, det vil si at vi utfører en iterativ sløyfe:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), så vil resultatet forbli uendret: uavhengig av den opprinnelig valgte xen, konverteringene konvergerer til verdien φ + 1.
Trinn 8
Geometrisk kan det gyldne forhold konstrueres ved hjelp av en vanlig femkant. Hvis vi tegner to kryssende diagonaler i den, vil hver av dem dele den andre strengt i det gyldne forholdet. Denne observasjonen tilhører ifølge legenden Pythagoras, som var så sjokkert over det funnet mønsteret at han anså den riktige fempunktsstjernen (pentagram) for å være et hellig guddommelig symbol.
Trinn 9
Årsakene til at det er det gyldne forholdet som synes en person er mest harmonisk, er ukjent. Imidlertid har eksperimenter gjentatte ganger bekreftet at fagene som fikk beskjed om å dele segmentet i to ulike deler, vakkert, gjør det i proporsjoner veldig nær det gyldne forholdet.
